수학과 통계학과

실제적이고 복잡한 분석

실제 분석:

실수 체계

기본 미터법 공간 이론

시퀀스 및 시리즈

미분법

적분학(리만 적분)

함수 수열 및 합(Weierstrass 근사 정리, 균등 수렴, Arzela-Ascoli 정리)

르베그 적분(실선)

복잡한 분석:

복잡한 함수: 한계, 연속성, 다음을 포함한 기본 함수의 속성 지점

미분성: 도함수 Cauchy-Riemann 방정식, 분석성, 조화 함수

통합: 코시 정리, 잔차 정리, 모레라 정리, 최대 계수 정리

시리즈: 테일러의 정리, 로랑 계열 전개

매핑: 기본 함수, 등각 맵의 속성

분석 함수의 추가 속성: 특이점, 영점, 분석 연속, 잔여물, 잔여물을 사용한 실수 및 복소수 적분의 평가

일부 참고자료:

실제 분석:

루딘,수학적 분석의 원리, 맥그로힐

골드버그,실제 분석 방법, 블레이스델

복잡한 분석:

처칠,복잡한 변수 및 응용, 맥그로힐

Saff & Smider,복합분석의 기초, 프렌티스 홀

추상 및 선형 대수

추상 대수학:

라그랑주 정리, 정규 부분군, 요인 그룹, 동형 및 동형, 순열, 몫의 분야 정수 도메인의, 다항식 링, 정수 도메인의 인수분해.

선형 대수학:

벡터 공간, 선형 변환 및 행렬, 행렬식, 표준 형식.

일부 참고자료:

추상 대수학:

허스타인,대수학 주제, 와일리

프랄리,추상 대수학의 첫 번째 과정, 애디슨-웨슬리

선형 대수학:

호프만과 쿤체,선형대수학, 프렌티스 홀

커티스,선형대수학, Springer-Verlag

프리드버그, 인셀, 스펜스,선형 대수학, 프렌티스 홀

다음 중 하나:

1. 토폴로지

   위상 공간의 공리화

   토폴로지 구조를 도입하는 다양한 방법.

   연속 지도

   연속성, 초기 소스 및 최종 싱크, 이산 및 무분별의 특성 공백.

   기본 구성

   열린(또는 닫힌) 집합, 하위 베이스, 부분 공간, 곱, 몫, 합계에 대한 기초입니다. 격자 세트의 토폴로지 수입니다.

   융합

   시퀀스; 필터 및 한외 필터.

   가산성

   첫 번째와 두 번째 공리. 린델로프 스페이스.

   분리

   Hausdorff, 규칙적인, 완전히 규칙적인, 정상적인 공간; $T_i$-공백, $i=0,1,2,3\frac12,4$. Urysohn의 보조정리.

   콤팩트함

   유클리드 공간에서. Tychonoff 정리, Stone-Cech 압축. 국소적인 소형화 $T$-공간에서 Alexandroff 압축.

   연결성

   구성요소, 로컬 연결, 경로 연결.

   미터법 공간

   코시 시퀀스, 완전성. 균일한 연속성. Baire의 정리.

   계측 정리 및 초소형

   Urysohn과 Nagata-Smirnov-Bing의 고전 정리. 스톤의 정리.

   기능 공간

   점별 및 간결한 수렴. Compact-Open 토폴로지, Ascoli의 정리. 유니폼 미터법 공간의 수렴.

   근사치

   Stone-Weierstrass 정리.

   일부 참고자료

   J. 두군지,토폴로지, Allyn and Bacon, Inc., 1966

   R. 엥겔킹,일반 토폴로지, PWN-폴란드 과학 출판사, 1977

   제임스 R. 문크레스,토폴로지, 프렌티스-홀, Inc., 1975

   스티븐 윌라드,일반 토폴로지, 애디슨-웨슬리, 1968

2. 미분 방정식

   상미분 방정식:

   1차 ODE의 일반성과 가용성 클래스.

   2차 선형 ODE(일반 이론 및 상수의 경우 명시적 해) 계수).

   상수 계수를 갖는 선형 ODE 시스템.

   정규계수에 가까운 분석계수를 갖는 2차 선형 ODE의 계열해 지점과 규칙적인 특이점 근처에 있습니다.

   2차 비선형 자율 ODE. 위상 평면 분석; 특히, 평형 솔루션, 분류 및 안정성.

   존재와 고유성 정리. 초기 조건에 대한 의존성의 성격.

   편미분 방정식:

   1차 선형(및 준선형) 방정식.

   2차 방정식과 그 표준 형식의 분류.

   특히 경계값 문제를 해결하기 위한 변수 분리 방법 열 방정식, 파동 방정식 및 라플라스 방정식. 이와 관련하여: 푸리에 급수의 수렴 정리. 또한 푸리에 적분.

   파동 방정식(또는 기타 쌍곡선 방정식). 초기(경계) 값 문제. 달랑베르의 원리. (호이겐스의 원리.)

   열 방정식(또는 기타 포물선 방정식). 초기(경계) 값 문제. 1차원 열 방정식의 존재 및 고유성 정리.

   라플라스 방정식(또는 기타 타원 방정식). 고조파 함수의 기본 속성, 특히 최대 원칙. 경계값 문제. 디리클레 문제, 그린의 함수와 포아송의 공식.

   일부 참고자료:

   ODE:

   보이스와 데프리마,초등 미분 방정식, 와일리.

   시몬스,상미분 방정식, 맥그로힐.

   버코프와 로타,상미분 방정식.

   PDE:

   자흐마노 글루와 토에,편미분 방정식 소개, William & Willkins Comp., 볼티모어.

   콜튼,편미분 방정식: 소개, Random House Birkhaeuser 수학 시리즈.

   버그와 맥그리거,초등 편미분 방정식, Holden-Day, 샌프란시스코.

3. 확률 및 통계

   이것은 수학 5680과 5690의 자료에 대한 지식을 바탕으로 합니다.

실제적이고 복잡한 분석

실제 분석:

$\mathbbR^n$, 시퀀스 및 시리즈의 완전성.

$\mathbbR^n$의 컴팩트함, 연결성.

균일한 수렴.

리만 적분, 적분의 존재, 균일 수렴 및 적분.

부적분한 적분.

복잡한 분석:

분석 함수와 Cauchy-Riemann 방정식.

기본 등각 매핑.

코시-구르사 정리, 코시 적분 공식, 잔차 미적분.

테일러와 로랑 시리즈.

미분 방정식

상미분 방정식:

선형 시스템, 기본 행렬 계산.

시스템 매개변수의 변형.

경계값 문제, 고유값 문제, Sturm-Liouville 이론.

비행기 자율 시스템, Liapunov 안정성.

편미분 방정식:

1차 방정식의 특성 방법.

라플라스, 파동 및 열 방정식의 경계값 문제, 변수 분리.

라플라스, 파동 및 열 방정식, 포아송 커널, Dirichlet에 대한 그린 함수 문제, 이미지의 방법.

미분 방정식

상미분 방정식

1차 방정식의 일반 이론

솔루션의 존재와 고유성

매개변수 및 초기 조건에 대한 지속적인 의존성

무한급수해와 메이저의 방법

선형 시스템

선형 시스템의 일반 이론

선형 주기 시스템

2차 선형 방정식

경계값 문제, 그린 함수, Sturm-Liouville 이론

비교 정리

평면의 상미분방정식의 질적 이론

극한주기, 푸앵카레-벤딕슨 정리

안정성, Liapunov의 방법

편미분 방정식

Cauchy-Kowalevski 정리

쌍곡선 시스템

솔루션의 존재 및 고유성

특성 방법

에너지 추정치

푸리에 변환, 그린의 함수

2차 타원 방정식

최대 원리 적용

초급 Sobolev 공간 이론:

$H^1(\mathbbR^n)$ 및 $H^2(\mathbbR^n)$

솔루션의 존재와 고유성

디리첼렛 원리

페론의 방법

라플라스 연산자의 고유값

열 방정식

솔루션의 존재와 고유성

기본적인 솔루션

에너지 추정치

최대 원칙

대수학

배경 자료

선형 대수학

벡터 공간 및 선형 변환

결정자

표준 형식

이차 형태의 대각선화

일반

동형정리

요르단-홀더 정리

피팅의 기본 정리

크룰-슈미트 정리

그룹

그룹 활동

기본 계산 정리

순열 그룹

이행성과 원시성

$n \ge 5$에 대한 $A_n$의 단순성

클래스 방정식

프라티니 인수

Sylow의 정리와 $p$-groups

그룹 구성

직접 제품

반직접 제품

유한하게 생성된 아벨 그룹의 구조

파생 시리즈 및 중앙 시리즈

해결 가능한 그룹 및 무능한 그룹

필드

간단한 확장(대수적 및 초월적)

확장 프로그램의 갈루아 그룹

대수적 종결

분리 가능 및 분리 불가능 확장 기능

일반 확장자

갈루아 이론의 기본 정리

유한 필드

반지

사사 및 분사 모듈

교환 링

인수분해

곱셈적으로 닫힌 집합에 관한 지역화

간단한 모듈 및 기본 링

제이콥슨 라디칼

Jacobson 밀도 정리

아르티니안 반지

Wedderburn-Artin 정리

실제 분석

배경 자료

무한한 시리즈 및 제품

파워 시리즈

미분의 기본 이론

단조함수와 제한된 변이의 함수

미터법 공간

토폴로지

완전성

연결성

콤팩트함과 완전한 경계성

균일한 수렴

바이르 범주 정리

Ascoli-Arzela 정리

Stone-Weierstrass 정리

통합

실제 라인의 측정 이론

외부 측정

측정값과 내용의 관계

측정 가능한 함수, Egoroff 및 Lusin 정리

실제선의 르베그 적분

단조 및 유계 수렴 정리, Fatou의 보조 정리

리만 적분과 르베그 적분과의 관계

부적절한 리만 및 르베그 적분

일부 참고자료:

T. 사도,수학적 분석

R. 골드버그실제 분석 방법

H.L. 로이든,실제 분석

W. 루딘,수학적 분석의 원리

토폴로지

배경 자료

카디널리티 및 가산성

선택의 공리, 올바른 순서, 최대 원칙

서수에 대한 기본 사실

일반 토폴로지

오픈 세트, 폐쇄 세트, 폐쇄, 내부 및 이웃 시스템

필터와 네트의 융합

분리 및 가산성 공리

연속 함수

연결성 및 경로 연결성

콤팩트함

제품 공간과 Tychonov 정리

Urysohn Lemma 및 Tietze 확장 정리

로컬 컴팩트함 및 초컴팩트함

몫 공간

대수적 위상수학

지도의 호모토피와 호모토피 동등성

기본 그룹

공간 및 분류 포함

Seifert-van Kampen 정리

일부 참고자료:

W.S. 메시,대수 위상수학의 기본 과정

J.R. 문크레스,토폴로지, 첫 번째 과정

I.M. 가수와 J.A. 소프,초등 위상수학과 기하학 강의 노트

에스. 윌라드,일반 토폴로지